从集合到希尔伯特的酒店,带你领略无穷大∞的奥秘

近来重温庄子名篇,

读到:“楚之南有冥灵者,以五百岁为春,五百岁为秋。”

正在感叹人生不过沧海一粟之时,

然而下一句就说:“上古有大椿者,以八千岁为春,八千岁为秋。”

你说名叫冥灵的大龟够长寿了吧,还是被名为大椿的古树秒杀,你大吧!总是有比你更大的东西存在。

作为一名理科生,不由自主地就想到了无穷大!这种近乎哲学的东西,最容易引发人类的思考了。

几千年来,有不计其数的数学家都研究过无穷大,然而无穷大就像爱情一样,让人无力把握和捉摸。

提到无穷大就不得不提一名数学家——格奥尔格·康托尔(Cantor),康托尔以其思维之独特,想象力之丰富,方法之新颖绘制了一幅人类智慧的精品——集合论。这为无穷大的研究提供了出路!

从集合到希尔伯特的酒店,带你领略无穷大∞的奥秘

格奥尔格·康托尔(Cantor)

不过由于早期学界的不认可,康托尔在学术深受打击,一度患有精神上的疾病,最后在一家精神病院中郁郁而终。

所谓“千金易得,知己难求”,但好在康托尔的研究还是获得了大卫·希尔伯特(David Hilbert)的高度赞誉,并且自己也投入到无穷大的研究。

从集合到希尔伯特的酒店,带你领略无穷大∞的奥秘

大卫·希尔伯特(David Hilbert)

从集合说起

为什么说集合论的创立为无穷大∞的研究奠定基础呢?

因为无穷大∞属于一个比较抽象的概念,直接去比较无穷大∞和无穷大∞+1,是不太好搞清楚的。

因此康托尔就引入了集合的概念。

首先,我们把“一堆确定的东西”称作集合,集合里的“东西”称为元素。

比如数字1就是无穷大集合里的一个元素。

当两个集合里的元素一样多的时候,我们称两个集合一样大。

举个简单的栗子,

假如丁石要拿5个苹果换等量的马化的梨子,那么马化应该给丁石几个梨子呢?

很明显,马化要给丁石5个梨子。那么再简单一点,只要丁石的苹果能和马化的梨子“一一对应”上,我们就知道他们相等了,因此称这两个集合一样大。

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丁石苹果换马化梨子

在这里,马化的5个苹果是一个集合,每个苹果是集合里的一个元素。

感觉很简单对吧,但这却为∞与∞+1的比较提供了一个利器!

希尔伯特的旅馆——∞与∞+1居然是一样大!?

有了当两个集合里的元素一样多的时候,我们称两个集合一样大。这个证明的利器,我们接着就来说说到底怎么比较。

说到∞与∞+1,就不得不提到的是——希尔伯特的旅馆。

这是一个神奇的旅馆!

为什么说它神奇呢?

因为它很赚钱啊!!(×)

嗯..开个玩笑,虽然它确实是很赚钱,但我们要讨论的并不是赚钱。

首先,希尔伯特的这家旅馆特别之处在于,它有无数∞间客房。

假设他正值放假客流高峰期!所有的客房都住满了客人。

这天风雨交加,又有一位客人来到了旅馆,说要住店。

老板说:“不行啊!我这里住满了呀!”

客人:“咋整,我也没地去,就要住你这里。”

老板说:“容我想想!”

这时老板让1号房间的客人住到2号房间,2号房间的客人住到3号房间,3号房间的客人住到4号房间……n号房间的客人住到n+1号房间,以此类推,1号房间就空了出来。这位客人也就顺利住了下来。这时∞的客房与∞+1的客人都“一一对应”上,因此∞与∞+1是一样大的。

从集合到希尔伯特的酒店,带你领略无穷大∞的奥秘

图片来源:知乎马同学

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图片来源:知乎马同学

假如这家旅馆生意火的爆炸!又有无穷多个旅客要来住店,那该怎么办。

老板有了之前的经验,这次处理起来就得心应手了。

老板让1号房间的客人住到2号房间,2号房间的客人住到4号房间,3号房间的客人住到6号房间……n号房间的客人住到2n号房间,这样奇数号房间的客房就空了出来,我们知道奇数的个数也是无穷多个的,因此这无穷多个旅客也就能住进来了。也就是说∞与∞+∞是一样大的。

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根据上面的理论来说,我们又可以得到自然数的个数等于奇数的个数又等于偶数的个数,因为他们的每一个元素都可以找到与之一一对应的元素。

是不是很神奇,奇数和偶数明明是自然数的一个部分,然而整体和部分居然是一样多的。

科学有时候就是违反常识的,大胃老师经常跟同学说,数学是不能靠感觉的,你一定要真真实实的去定义了去证明了才能下定结论!

其实无穷大能说的还有很多,比如康托尔的无穷大算数、葛立恒数(tree3)、阿列夫0、1、2……(ℵ₀、ℵ₁、ℵ2),如果大家有兴趣,大胃老师下期会继续介绍跟无穷大有关的知识。

最后送给大家一句大胃老师很喜欢的句子:

盖将自其变者而观之,则天地曾不能以一瞬;自其不变者而观之,则物与我皆无尽也。

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