涨知识!(a+b)²=a²+2ab+b²,及“勾股定理”原来是这么来的

相信只要是上过初中的同学,对于“(a+b)²=a²+2ab+b²”这个公式肯定都很熟悉(不熟悉的请自行请教自己的体育老师),但是,对于它的原理可能有人会不知道!

所以,今天给大家介绍下这个公式究竟是怎么来的,同时,还会解释下我们非常熟悉的勾股定理。以及这里面蕴含的思想又是什么?

涨知识!(a+b)²=a²+2ab+b²,及“勾股定理”原来是这么来的

最关键的不是让大家知道这两个公式的原理,而是掌握这种数学思想,这对于我们的中考以及高考做题都至关重要,可以让我们花更少的时间快速做题,这对于分秒必争的中高考考场来说,至关重要!

首先,在初中的时候,我们可以将这个公式一般看作两个数的乘法。

分别是:( a+b ) x( a+b )

然后,挨个相乘再相加就有了如下等式:

(a+b)²=a²+ ab+ ab+ b²

我们下面再开始讲这个等式是怎么来的,原理是什么,也可以理解为简单的证明。

我们首先作一条线,命名为l,并且将这条线分为两部分,a与b,那么,这条线的长度就等于a+b,如下图所示:

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接着,我们再以这条线为边,作一个正方形,并且,同时在线上标出a与b,如下图所示:

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做完正方形以后,我们用虚线将正方形进行划分。相信大家可能都已经发现了,主要分为以下四部分:

①:边长为a的正方形②:边长为b的正方形③:长为b,宽为a的长方形④:长为b,宽为a的长方形

然后,我们依次求出这四部分图形的面积,非常简单,分别为a²、b²、ab、ab,示意图如下所示:

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最后,再将这四个部分加起来,是不是就有了a²+2ab+b²了呢?

那么,为啥说“(a+b)²=a²+2ab+b²”呢?聪明的孩子肯定已经知道了,那就是正方形的面积公式。

以a+b为边长的正方形面积不就是(a+b)²吗?而划分出来的四部分面积加起来,刚好也是同一个正方形的面积。

所以说,(a+b)²=a²+2ab+b²肯定是成立的,以上就是(a+b)²=a²+2ab+b²的原理,大家学会了吗?

同样的道理,我们还可以算出(a-b)²呢!大家不妨可以自己试一试,然后在评论区留下你的答案,看看是不是对的!

下面再看一个我们最熟悉的“勾股定理:a²+b²=c²”,看看到底是怎么推导出来的。

直接看下面这张图

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还是先以( a+b)为边长作一个正方形,然后再将各个边长的分界点连起来,如上图所示。

那么,我们依旧采用与前一个等式证明一样的原理,还是算大正方形的面积,以及各个部分的面积,再让两部分面积相等!

最外面大的正方形面积还是(a+b)²,计算里面的小正方形面积为c²。

那么,剩下的四个等大的三角形,每一个的面积是1/2*ab,则四个的总面积为:4x1/2ab=2ab

然后,正方形总面积与各部分面积和相等,可以推出以下公式:

c²+2ab=(a+b)²

展开化简,两边消去2ab,即可得到勾股定理公式:a²+b²=c²

是不是超级简单呢?

那么,通过这两个等式的证明,不知道大家有没有发现运用的原理,其实,非常简单,那就是“数形结合、数形转换”的原理。

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所以,这篇文章不只是为了给大家讲这么简单的两个公式,我们的目的在于为大家传达这种数形转换思想的重要性。

这种思想,对于我们理解初高中数学概念非常重要,同时,也可以扩展到高中做题上,也就是我们常说的数形结合法。

往往很多特别抽象的定理以及等式,理解起来可能又抽象又困难,但是,只要用图形的方式来把它画出来以后,往往一目了然。

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这就是几何的魅力所在,大部分数学题,即使是竞赛题,50%都是可以转换为几何题来做。

所以,建议同学们在培养这种思想上多下功夫,这不光可以锻炼大家的思维能力,还能为将来巧妙快速做题打下基础,在中高考中让自己脱颖而出,很多方法就是这么一点点积累出来的!

量变才能引起质变!

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