这个方程怎么解?

这个方程怎么解?

这个方程怎么解?

题:解方程:√(x2+3x-3)-√(x2+2x-2) =x-1……(1)

分析:解无理方程的基本思想是去根号,把无理方程化为有理方程。而去根号的方法手段因题而异,其中最常见的是两边平方,但就本题而言,不管是方程两边直接平方还是先移项再平方都是很繁杂的。怎么办呢?观察方程特征,左边两个被开方数的差(x2+3x-3)-(x2+2x-2)=x-1,恰好与方程的右边相同。那么如何才能得到方程左边两个被开方数的差呢?显然,容易想到平方差公式,构造含√(x2+3x-3)+√(x2+2x-2)的方程。

解:设√(x2+3x-3)+√(x2+2x-2)=a……(2)

(1)×(2),得

x-1=(x-1)a,

所以x-1=0或a=1,

当x-1=0时,x=1;

当a=1时,

√(x2+3x-3)+√(x2+2x-2)=1……(3)

(1)+(3),得

2√(x2+3x-3)=x……(4),

两边平方,得4(x2+3x-3)=x2,

整理,得3 x2+12x-12=0,即x2+4x=4,

所以(x+2)2=8,解得x=-2±√2,

经检验:x=-2-2√2是增根,

原方程的根是x=1和x=-2+2√2.

注:这里的增根x=-2-2√2如何快速检验出来呢?显然,代入原方程检验是非常不划算的。仔细观察求解过程中出现的各个无理方程。对于构造的方程(2),根据算术平方根的定义可知a≥0;从(1)+(3)得到的方程(4)可知x≥0,而x=-2-2√2<

,所以立知x=-2-2√2是增根。

未经允许不得转载:教育 » 这个方程怎么解?